Л. 13. Цвёрдыя целы Змест




Дата канвертавання02.04.2017
Памер445 b.


Л.13. Цвёрдыя целы

  • Змест:

  • 1. Энергетычныя зоны ў крышталях

  • 2. Металы, паўправаднікі, дыэлектрыкі

  • 3. Паняцце аб квантавых статыстыках

  • 4. Электронны газ

  • 5. Узровень і энергія Фермі

  • 6. Цеплаёмістасць электроннага газу


Энергетычныя зоны ў крышталях

  • Крышталь, як матэрыяльная фізічная сістэма складаецца з электронаў і атамных ядзер, мае сваю атамную структуру, якая вызначаецца энергетычнымі ўзроўнямі.

  • Уявім працэс утварэння крышталя з N аднолькавых атамаў.

  • Пакуль атамы свабодныя, кожны з іх мае аднолькавую схему энергетычных узроўняў, сярод якіх ёсць узровень Еі.



  • Запаўненне энергетычных ўзроўняў электронамі ажыццяўляецца ў кожным атаме незалежна ад запаўнення аналагічных узроўняў у другіх атамах.

  • Пры збліжэнні атамаў пад уздзеяннем вонкавага сілавога поля ўзаемадзеянне паміж імі ўзмацняецца, што прыводзіць да змянення палажэння ўзроўняў.



  • Замест аднаго аднолькавага для ўсіх N атамаў узроўня Еі ўзнікае N вельмі блізка размешчаных узроўняў, якія ўтвараюць энергетычную зону шырынёй Е.

  • Такім чынам, кожны ўзровень свабоднага атама расшчапляецца ў крышталі на N шчыльна размешчаных узроўняў.



  • Пры гэтым трэба мець на ўвазе, што энергетычныя станы, якія апісваюцца рознымі наборамі квантавых лікаў n, l, ml i ms, але маюць адну і тую ж энергію, называюцца выраджанымі.

  • Выраджанасць станаў захоўваецца да таго часу пакуль атамы знаходзяцца ў вольным стане, на іх не дзейнічае вонкавае поле.

  • Працэс расшчаплення энергетычных выраджаных узроўняў на падузроўні называецца здыманнем выраджанасці.



  • Расшчапленне розных узроўняў рознае, яно залежыць ад глыбіні размяшчэння ўзроўня ў атаме.

  • Вонкавыя ўзроўні, на якіх знаходзяцца валентныя электроны, спазнаюць найбольшае расшчапленне.

  • Унутраныя ўзроўні расшчапляюцца вельмі слаба.

  • Такім чынам, кожнаму дазволенаму энергетычнаму ўзроўню атама ў крышталі адпавядае цэлая дазволеная зона ДЗ.



  • Дазволеныя зоны ДЗ чаргуюцца з зонамі забароненымі ЗЗ.

  • Наяўнасць зоннай

  • структуры

  • энергетычных узроўняў

  • у крышталі можна

  • вызначыць шляхам

  • рашэння раўнання

  • Шродзінгера



  • Згодна зоннай тэорыі ў крышталі ўтвараюцца: валентная зона (ВЗ), забароненая зона (ЗЗ) і свабодная зона (СЗ).

  • Шырыня зон залежыць ад уласцівасцей крышталя і не залежыць ад яго памераў.



  • У 1см3 крышталя знаходзіцца каля 1023 атамаў, таму лік узроўняў у дазволенай зоне мае той жа парадак.

  • Шырыня дазволенай зоны некалькі электронвольт, у сувязі з чым адлегласць паміж узроўнямі ў зоне каля 10-23эВ.

  • У сувязі з чым электрон лёгка пераходзіць з узроўня на ўзровень унутры дазволенай зоны.



  • Пры максімальнай запоўненасці валентнай зоны назіраецца статыстычная раўнавага электронаў.

  • Электроны, якія перамяшчаюцца ў валентнай зоне не ствараюць электрычны ток.

  • У гэтым выпадку каб стварыць ток трэба нейкую частку электронаў перавесці ў свабодную зоны праз забароненую зону.



  • Калі ж валентная зона запоўнена часткова статыстычная раўнавага электронаў парушаецца.

  • Электроны могуць пераходзіць з уроўня на ўзровень у самой валентнай зоне.

  • Таму валентная зона, якая запоўнена часткова называецца зонай праводнасці.



Металы, паўправаднікі і дыэлектрыкі

  • Фізічныя ўласцівасці цвёрдых цел вызначаюцца не характарам утварэння энергетычных зон, а якім чынам яны запаўняюцца электронамі.

  • У першую чаргу гэта датычыцца валентнай зоны.

  • З пункту гледжання зоннай тэорыі ўсе крышталічныя целы можна падзяліць на тры групы: металы, паўправаднікі і дыэлектрыкі.



  • У кожнага з іх рознае запаўненне валентнай зоны, шырыня забароненай зоны мае розныя значэнні і зонай праводнасці з’яўляецца ці валентная зона, ці свабодная зона.

  • Металы – гэта целы, у якіх валентная зона запоўнена часткова, або назіраецца перакрыццё валентнай і свабоднай зон з утварэннем гібрыднай зоны (ГЗ), якая мае вялікі лік вакантных узроўняў.



  • Валентная зона ў металах з’яўляецца зонай праводнасці.

  • Пры абсалютным нулі Т= 0К і адсутнасці вонкавага электрычнага поля, згодна з прынцыпам Паулі, усе электроны папарна размяшчаюцца на самых ніжніх узроўнях валентнай зоны.



  • Пад уздзеяннем вонкавага электрычнага поля ў валентнай зоне будзе назірацца пераход электронаў на больш высокія ўзроўні, што прыводзіць да з’яўлення току.

  • Металы з’яўляюцца праваднікамі.



  • Паўправаднікі – гэта целы, у якіх валентная зона запоўнена поўнасцю электронамі, якія папарна размешчаны на кожным энергетычным узроўні.

  • Шырыня забароненай зоны паўправаднікоў Е  2эВ.



  • Да паўправаднікоў адносяцца:

  • германій Ge - Е = 0,7эВ,

  • кремній Si - Е = 1,2эВ,

  • арсенід галію GaAs - Е = 1,5эВ,

  • антыманід індыю InSb – Е = 0,2эВ і інш.

  • Па велічыне электраправоднасці (ρ ~ 10-5 – 104 Ом.м) паўправаднікі займаюць прамежкавы стан паміж металамі і дыэлектрыкамі.



  • Пры вонкавым уздзеянні на паўправаднік (награванне, апраменьванне і г.д.) электроны пераходзяць з валентнай зоны ў свабодную зону, якая для паўправаднікоў з’яўляецца зонай праводнасці.

  • У валентнай зоне ўзнікаюць вакантныя месцы, якія атрымалі назву дзірак.



  • Дзіркі паводзяць сябе як дадатна зараджаныя часціцы і з’яўляюцца носьбітамі току.

  • Такім чынам, электраправоднасць паўправаднікоў з’яўляецца электронна-дзіркавай.



  • Дыэлектрыкі – гэта целы, у якіх поўнасцю запоўнена валентная зона, а шырыня забароненай зоны Е > 3эВ.

  • Напрыклад, карунд – Е = 7эВ; алмаз - Е = 5эВ; нітрыд бору - Е = 4,5эВ; кухонная соль (крышталь) – Е = 8эВ.



  • У адрозненне ад праваднікоў і паўправаднікоў дыэлектрыкі не праводзяць электрычны ток, з’яўляюцца ізалятарамі.

  • Звычайныя электрычныя палі не здольныя перадаць электронам такую энергію, каб перавесці іх у свабодную зону.

  • Пры вельмі магутных палях назіраецца прабой дыэлектрыка.



Паняцце аб квантавых статыстыках

  • Квантавыя сістэмы – электронны газ, фатонны газ, фанонны газ, сукупнасць элементарных часціц і інш.

  • У квантавай фізіцы велічыні, якія вызначаюць параметры мікрачасціцы, змяняюцца толькі пэўнымі порцыямі, квантамі.

  • Для вывучэння квантавых сістэм трэба ведаць закон размеркавання квантавых часціц па энергетычных узроўнях.



  • Асноўным размеркаваннем класічнай фізікі з’яўляецца статыстыка Максвэла-Больцмана

  • Пры гэтым часціцы лічацца рознымі (распазнавальнымі), а іх энергія можа мець як дыскрэтны, так і непарыўны спектр.



  • Адным з размеркаванняў квантавай фізікі з’ўляецца статыстыка Базэ-Эйнштэйна

  • f(E) – функцыя, якая вызначае імавернасць запаўнення энергетычнага стану з энергіяй Еі,

  • Еі – энергія і-га энергетычнага ўзроўню,

  • μ – хімічны патэцыял газу, які роўны энергіі такога стану, імавернасць запаўнення якога роўная 1/2.



  • Статыстыцы Базэ-Эйнштэйна падпарадкоўваюцца часціцы, якія

  • прынцыпова нераспазнавальныя (тоесныя),

  • валодаюць дыскрэтным спектрам энергіі,

  • маюць цэлы ці нулявы спін,

  • не падпарадкоўваюцца прынцыпу Паўлі.

  • Іх называюць базонамі (фатоны, фаноны, мезоны і інш.).



  • Да размеркаванняў квантавай фізікі адносіцца статыстыка Фермі-Дзірака

  • Часціцы, паводзіны якіх вызначаюцца статыстыкай Фермі-Дзірака, называюцца ферміонамі (электроны, пазітроны, нуклоны і інш.).

  • Гэта часціцы, якія

  • прынцыпова нераспазнавальныя,

  • маюць дыскрэтны спектр энергіі,

  • валодаюць паўцэлым спінам,

  • падпарадкоўваюцца прынцыпу Паўлі.



Электронны газ

  • Вядома, што электронная шчыльнасць у метале складае каля 1022 см-3.

  • Гэта азначае, што вакол дадатных іонаў крышталічнай рашоткі іх шмат.

  • Таму ўздзеянне іона на асобны электрон экраніруецца гэтай электроннай футрай, якая сваім адмоўным полем кампенсуе прыцяжэнне электрона да дадатнага іона.



  • Такім чынам электрон праводнасці ў метале рухаецца амаль свабодна.

  • Таму валентныя электроны ў метале (электроны праводнасці) з пэўнай дакладнасцю можна лічыць свабоднымі.

  • Рух свабоднага электрона (электрона праводнасці) у метале апісваецца раўнаннем Шродзінгера



  • Стан свабоднага электрона вызначаецца імпульсам p = k, энергіяй Е = р2/2m і залежыць ад арыентацыі спіна.

  • Такая сістэма свабодных электронаў называецца электронным газам ці ідэальным газам Фермі.

  • Размеркаванне электронаў па энергетычных узроўнях апісваецца статыстыкай Фермі – Дзірака:



Узровень і энергія Фермі

  • Свабодныя электроны размяркоўваюцца па энергетычных узроўнях ў строгім парадку.

  • Іх размеркаванне падпарадкоўваецца прынцыпу Паўлі – на кожным узроўні могуць размясціцца не больш, чым два электрона, якія маюць супрацьлеглыя спіны.



  • Згодна статыстыцы Фермі – Дзірака імавернасць запаўнення ніжніх узроўняў большая, чым верхніх

  • Па меры запаўнення ніжніх узроўняў (спрацоўвае прынцып мінімальнасці энергіі) адбываецца засяленне ўсё больш высокіх узроўняў.



  • Самы высокі энергетычны ўзровень квантавай сістэмы, які можа быць заняты электронамі пры Т = 0К называецца ўзроўнем Фермі.

  • Энергія, якая адпавядае ўзроўню Фермі, называецца энергіяй Фермі (ЕF).



  • Усе энергетычныя ўзроўні, якія размешчаны вышэй узроўня Фермі, з’яўляюцца вакантнымі.

  • І толькі пры ўзбуджэнні квантавай сістэмы можа адбыцца пераход электронаў на ўзроўні, што ляжаць вышэй узроўня Фермі.



  • Калі ўлічыць, што стан кожнага электрона ў квантавай сістэме вызначаецца кампанентамі яго імпульсу, то можна атрымаць выраз для энергіі Фермі

  • n – канцэнтрацыя электроннага газу ў метале.

  • Канцэнтрацыя электронаў праводнасці ў металах n ~ 5 . 1028 м-3 , таму EF ~ 5 эВ .

  • Энергія Фермі мае сэнс найбольш імавернай ці сярэдняй энергіі электронаў праводнасці пры Т = 0К.



  • Хімічны патэнцыял электронаў у размеркаванні Фермі – Дзірака адпавядае энергіі ўзроўня Фермі  = EF.

  • У сувязі з чым функцыя размеркавання свабодных электронаў па энергетычных узроўнях валентнай зоны мае выгляд:



  • Графік залежнасці функцыі Фермі – Дзірака ад энергіі ўзроўня называюць ступенькай Фермі.

  • Для выпадкаў:



  • Такім чынам, размеркаванне Фермі – Дзірака паказвае, што імавернасць запаўнення ніжніх узроўняў валентнай зоны пры Т=0К роўная 100%, верхніх – 0%, узроўня Фермі – 50% (можа знаходзіцца адзін электрон).



Цеплаёмістасць электроннага газу

  • Павышэнне тэмпературы квантавай сістэмы прыводзіць да “размыцця” ступенькі Фермі.

  • Велічыня “размыцця” kT ~ 0,03 эВ пры пакаёвых тэмпературах, а EF ~ 5 эВ.

  • Таму ў “размыцці” ступенькі прымае ўдзел каля 1% свабодных электронаў, энергія якіх блізкая да энергіі Фермі.



  • Электроны, якія знаходзяцца на глыбокіх энергетычных узроўнях валентнай зоны, аддаленых ад узроўня Фермі болей чым на kТ, цеплавому ўзбуджэнню не падвяргаюцца, іх размеркаванне не змяняецца.

  • Электронны газ уяўляе сабой сістэму свабодных электронаў, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Фермі – Дзірака.



  • Калі ўявіць мадэль крышталя як патэнцыяльную яму з цвердымі непранікальнымі вертыкальнымі сценкамі, то электроны, якія знаходзяцца ў гэтай яме, ўтвараюць электронны газ.

  • Гэта мадэль ляжыць у аснове класічнай (тэорыя Друдэ) і квантавай (тэорыя Зомерфельда) тэорыі металаў.

  • Згодна гэтай мадэлі метал можна ўявіць як жорсткі іонны каркас, які пагружаны ў электронны газ.

  • Аднак квантавы электронны газ адрозніваецца ад класічнага электроннага газу.



  • Адрозненні:

  • 1. Электронны квантавы газ падпарадкоўваецца размеркаванню Фермі-Дзірака, класічны – статыстыцы Максвэла-Больцмана.

  • 2. Рух квантавага электроннага газу апісваецца раўнаннем Шродзінгера, класічнага газу – законамі класічнай механікі.

  • 3. Квантавы газ з’яўляецца выраджаным, класічны – нявыраджаным.

  • Пры гэтым трэба мець на ўвазе, што электронны газ адказны не толькі за стварэнне электраправоднасці, але і вызначае цеплаёмістасць і цеплаправоднасць крышталя.



  • Стан электроннага газу моцна залежыць ад тэмпературы крышталя.

  • Пры вызначэнні характару газу яго тэмпературу параўноўваюць з характарыстычнай тэмпературай, якую называюць тэмпературай Фермі або тэмпературай выраджэння

  • Пры T < TF электронны газ з’яўляецца выраджаным (квантавым).

  • Пры T > TF – нявыраджаным (класічным).



  • Энергіі Фермі EF ~ 5 эВ адпавядае тэмпература TF ~ 104 K (EF ~ 3kТ/2).

  • Таму нават пры тэмпературы, блізкай да тэмпературы плаўлення металу ~ 103К, электронны газ у метале з’яўляецца выраджаным.

  • Сярэдняя энергія аднаго свабоднага электрона <Е> = (3/5)ЕF.



  • Доля электронаў, якія размешчаны паблізу ўзроўня Фермі і ўдзельнічаюць у цеплавым руху вызначаецца як

  • Іх колькасць роўная

  • дзе N0 – колькасць электронаў у валентнай зоне.



  • З улікам выразу для тэмпературы Фермі

  • атрымліваем колькасць электронаў, якія ўдзельнічаюць у цеплавым руху пры тэмпературы Т

  • Дадатковая энергія электронаў пры награванні да тэмпературы Т роўная



  • Для аднаго моля рэчыва N0 = NA, то

  • Такім чынам, электронная малярная цеплаёмістасць

  • дзе каэфіцыент β=2R/TF.



  • Больш дакладныя разлікі паказваюць, што цеплаёмістасць электроннага газу вызначаецца роўнасцю

  • дзе каэфіцыент β=2k2n /2EF.



  • Калі Т0, то Се  0.

  • Пры пакаёвай тэмпературы Тп ~ 300K значэнне Се складае 0,01 ад цеплаёмістасці класічнага электроннага газу (Скл = (3/2)R).

  • Электронная цеплаёмістасць металу вельмі малая параўнальна з цеплаёмістасцю самой рашоткі.

  • Гэта звязана з тым, што пры Т=Тп узбуджаюцца толькі электроны, размешчаныя паблізу ўзроўня Фермі.




База данных защищена авторским правом ©urok.shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка