Задачы па курсе агульнай фізікі квантавая фізіка




старонка5/6
Дата канвертавання18.11.2017
Памер1.91 Mb.
1   2   3   4   5   6

Функцыя размеркавання Фермі-Дзірака


Энергія ўзроўня Фермі ў метале пры Т = 0К

Тэмпература Фермі

Сярэдняя энергія электрона
Прыклад 1. Ацаніць значэнне энергіі ўзроўня Фермі , калі сярэдняе значэнне канцэнтрацыі электронаў праводнасці ў метале роўнае 5.1022см-3.

Дадзена: n = 5.1022см-3, m = 9,1.10-31кг

- ?

Рашэнне. Значэнне энергіі ўзроўня Фермі пры абсалютным нулі Т = 0К можна знайсці з выразу

Лікавае значэнне:



Прыклад 2. Чаму роўная імавернасць знаходжання электрона праводнасці на ўзроўні Фермі?

Дадзена: Еі = ЕF

f(F) - ?

Рашэнне. Для вызначэння імавернасці знаходжання электрона праводнасці на ўзроўні Фермі выкарыстаем выраз для функцыі размеркавання Фермі-Дзірака Калі Такім чынам, імавернасць ці 50%.

Прыклад 3. Ацаніць ціск электроннага газу ў алюміннію, калі сярэдняя энергія электрона

Дадзена: = 2700кг/м3, М = 27г/моль

р - ?


Рашэнне. Поўная энергія электроннага газу З улікам таго, што канцэнтрацыя маем Калі мысленна сціснуць газ на малую велічыню dV, то пры гэтым здзейсніцца работа супраць сіл ціску Гэта работа роўная змяненню энергіі электроннага газу Такім чынам, дзе электронная канцэнтрацыя (валентнасць алюмінію роўная 3). У выніку атрымліваем, што ціск электроннага газу

Лікавае значэнне:



Прыклад 4. Ацаніць долю электронаў праводнасці ў медзі, якія пры тэмпературы 400К знаходзяцца на ўзроўнях, што ляжаць вышэй ўзроўня Фермі.

Дадзена: = 8900кг/м3, М = 64г/моль, Т = 400К

N/N - ?


Рашэнне. Пры павышэнні тэмпературы электроннага газу ступенька Фермі размываецца на велічыню kT (рыс.7.). Доля электронаў, якія знаходзяцца на ўзроўнях, энергія якіх Еі > ЕF, вызначаецца велічынёй kT/2. Такім чынам, дзе Для медзі электронная канцэнтрацыя роўная атамнай (валентнасць медзі - 1) і з улікам шчыльнасці рэчыва маем У выніку атрымліваем, што доля электронаў

Лікавае значэнне:


13.1. Даказаць, што імавернасць знаходжання электронаў праводнасці ў метале на ўзроўнях, якія ляжаць вышэй узроўня Фермі пры Т = 0К, роўная 0.

13.2. Даказаць, што імавернасць знаходжання электронаў праводнасці ў метале на ўзроўнях, якія ляжаць ніжэй узроўня Фермі пры Т = 0К, роўная 1.

13.3. Вызначыць імавернасць пераходу электрона праводнасці ў метале на ўзровень, які ляжыць на 0,2эВ вышэй узроўня Фермі пры Т = 0К.

13.4. Пры якой тэмпературы адбыўся пераход электрона праводнасці на ўзровень, які на 0,15эВ ляжыць вышэй узроўня Фермі? Імавернасць такога пераходу роўная 0,15%.

13.5. Знайсці энергію ўзроўня, на які адбыўся пераход электрона праводнасці ў натрыю пры тэмпературы 400К, калі імавернасць такога пераходу роўная 1%.

13.6. Вызначыць электронную канцэнтрацыю для серабра, калі вядома, што энергія ўзроўня Фермі серабра пры Т = 0К роўная 5,5эВ.

13.7. Вызначыць тэмпературу Фермі для алюмінію, валентнасць якога роўная 3.

13.8. Вызначыць імпульс электрона, які знаходзіцца на ўзроўні Фермі медзі.

13.9. Сярэдняе значэнне энергіі свабодных электронаў у метале пры Т = 0К роўнае 3эВ. Вызначыць электронную канцэнтрацыю для гэтага металу.

13.10. Знайсці максімальную скорасць свабодных электронаў у метале пры Т = 0К, для якога энергія ўзроўня Фермі роўная 5,3эВ.

13.11. Знайсці долю электронаў праводнасці ў метале пры Т = 0К, што валодаюць кінетычнай энергіяй, якая перавышае палову максімальнай энергіі.

13.12. Вызначыць ціск электроннага газу ў натрыю пры Т = 0К і электроннай канцэнтрацыі роўнай 2,5.1028м-3. Выкарыстаць асноўнае раўнанне МКТ для ідэальнага газу.

13.13. Вызначыць тэмпературу, пры якой сярэднія энергіі электронаў класічнага і квантавага газу будуць роўнымі. У якасці метала ўзяць медзь.

13.14. Ціск электроннага газу для серабра 8,1ГПа, энергія Фермі – 5,5эВ. Знайсці электронную канцэнтрацыю для гэтага металу.

13.15. Ацаніць долю электронаў праводнасці ў калію, якія пры яго награванні да 500К будуць знаходзіцца на ўзроўнях, што ляжаць вышэй узроўня Фермі.

13.16. Доля электронаў праводнасці, якія знаходзяцца на ўзроўнях, што ляжаць вышэй узроўня Фермі ў натрыю пры Т = 400К, складае 0,55%. Вызначыць энергію ўзроўня Фермі для натрыю.

13.17. Імавернасць знаходжання электронаў праводнасці на ўзроўні, што ляжыць вышэй узроўня Фермі пры Т = 500К, роўная 0,5%. Энергія ўзбуджанага ўзроўня 5,43эВ. Вызначыць энергію ўзроўня Фермі для дадзенага металу пры Т = 0К.

13.18. Светлавы паток перадае вадзяной расінцы масай 1мг энергію, роўную энергіі ўзроўня Фермі для медзі пры Т = 0К. Як зменіцца пры гэтым тэмпература расінкі?

13.19. Якой вобласці выпраменьвання адпавядае фатон, энергія якога роўная энергіі ўзроўня Фермі для серабра пры Т = 0К?

13.20. У колькі разоў сярэдняя энергія свабодных электронаў у натрыю пры Т = 0К меншая за энергію фатона зялёнай вобласці бачнага выпраменьвання?


14. Цеплаёмістасць цвёрдых цел

Малярная цеплаёмістасць крышталя (тэорыя Эйнштэйна)



,

дзе - характырыстычная тэмпература Эйнштэйна.

Па тэорыі Энштэйна энергія нулявых ваганняў

Малярная цеплаёмістасць крышталя (тэорыя Дэбая)



,

дзе - характарыстычная тэмпература Дэбая, - пераменная.

Па тэорыі Дэбая энергія нулявых ваганняў

Малярная цеплаёмістасць электроннага газу


Прыклад 1. Вылічыць адносную хібнасць, якая будзе дапушчана пры вызначэнні цеплаёмістасці крышталя, калі замест закону Дэбая (Т = Д) выкарыстаць закон Дзюлонга і Пці.

Дадзена: Т = Д

 - ?


Рашэнне. Адносная хібнасць , дзе згодна закону Дзюлонга і Пці, а згодна тэорыі Дэбая. Пры інтэграл (таблічны). Такім чынам, малярная цеплаёмістасць крышталя па Дэбаю У выніку атрымліваем, што адносная хібнасць ці яна складае 4,7%.

Прыклад 2. Атрымаць выраз для малярнай цеплаёмістасці крышталя пры нізкіх тэмпературах згодна тэорыі Дэбая.

Дадзена: Т<<Д

С = f(T) - ?

Рашэнне. Малярная цеплаёмістасць крышталя згодна тэорыі Дэбая вызначаецца роўнасцю . Пры нізкіх тэмпературах , таму інтэграл (таблічны), а складальнік У выніку атрымліваем, што цеплаёмістасць пры нізкіх тэмпературах , дзе - велічыня, якая вызначаецца характарыстычнай тэмпературай Дэбая.

Прыклад 3. У колькі разоў павялічылася тэмпература крышталя NaCl масай 10г, які знаходзіўся пры тэмпературы 2К і атрымаў 0,6мДж цяпла? Характарыстычная тэмпература Дэбая для крышталя NaCl роўная 320К.

Дадзена: m = 10г, Т1 = 2К, Q = 0,6мДж, Д = 320К

Т21 - ?



Рашэнне. Згодна ўмовы задачы Т1<<Д крышталь знаходзіўся пры нізкай тэмпературы, таму для вызначэння яго малярнай цеплаёмістасці можна выкарыстаць выраз (гл. прыклад 2.) . Колькасць цеплыні , дзе . У выніку З апошняй роўнасці атрымліваем

Лікавае значэнне: Такім чынам, стасунак



Прыклад 4. Вызначыць цеплаёмістасць электроннага газу (V = const) металу з энергіяй Фермі 5эВ і электроннай канцэнтрацыяй 2,5.1022см-3, які знаходзіцца пры тэмпературы 4К.

Дадзена: EF = 5эВ, n = 2,5.1022см-3, Т = 4К

С - ?


Рашэнне. Малярная цеплаёмістасць электроннага газу , а цеплаёмістасць пры пастаянным аб’ёме , дзе . Тэмпература Фермі , таму . Шчыльнасць электроннага газу . Такім чынам, цеплаёмістасць .

Лікавае значэнне: .


14.1. Вылічыць адносную хібнасць, якая будзе дапушчана пры вызначэнні цеплаёмістасці крышталя, калі замест закону Эйнштэйна (Т = Е) выкарыстаць закон Дзюлонга і Пці.

14.2. Атрымаць выраз для малярнай цеплаёмістасці крышталя пры нізкіх температурах (Т<<Е) згодна тэорыі Эйнштэйна.

14.3. Паказаць, што пры высокіх тэмпературах (Т>>Д) з закону Дэбая вынікае закон Дзюлонга і Пці.

14.4. Паказаць, што пры высокіх тэмпературах (Т>>Е) з закону Эйнштэйна вынікае закон Дзюлонга і Пці.

14.5. Знайсці стасунак характарыстычных тэмператур Эйнштэйна і Дэбая.

14.6. Чаму роўная энергія нулявых ваганняў аднаго моля крышталя, для якога характарыстычная тэмпература Эйнштэйна роўная 300К?

14.7. Вызначыць малярную цеплаёмістасць крышталя пры тэмпературы 2К, калі яго характарыстычная тэмпература Дэбая роўная 310К.

14.8. Чаму роўная максімальная энергія фанона, які ўзбуджаецца ў крышталі, для якога характарыстычная тэмпература Дэбая 320К?

14.9. Вызначыць даўжыню хвалі, якая адпавядае фатону, энергія якога роўная энергіі фанона, які ўзбуджаецца ў крышталі з характарыстычнай тэмператураў Эйнштэйна 300К.

14.10. Якую колькасць цеплыні трэба перадаць крышталю медзі масай 25г, каб павялічыць яго тэмпературу ад 8К да 10К? Характарыстычная тэмпература Дэбая для медзі 310К.

14.11. Знайсці сярэднюю энергію лінейнага аднамернага квантавага асцылятара з улікам нулявой энергіі пры тэмпературы Т = Е, калі характарыстычная тэмпература Дэбая роўная 200К.

14.12. Вызначыць энергію сістэмы, якая складаецца з 1025 трохмерных незалежных асцылятараў, пры тэмпературы Т = Е, калі характарыстычная тэмпература Эйнштэйна роўная 300К.

14.13. Вызначыць характарыстычную тэмпературу Дэбая для алюмінію, калі вядома, што пры награванні алюмінію масай 20г ад 5К да 10К было затрачана 54мДж цяпла.

14.14. Знайсці характарыстычную тэмпературу Дэбая для крышталя, калі пры тэмпературы 70К стасунак квантавай малярнай цеплаёмістасці да класічнай роўны 0,65.

14.15. Тэмпературу крышталя NaCl масай 10г, які знаходзіцца пры тэмпературы 320К, роўнай характарыстычнай тэмпературы Дэбая, павялічваюць на 40К. Колькі цеплыні пры гэтым было затрачана?

14.16. Вызначыць тэмпературу электроннага газу, цеплаёмістасць якога роўная 40Дж/(К.м3), тэмпература Фермі 75,4кК, а электронная канцэнтрацыя 2,2.1028м-3.

14.17. Вызначыць малярную цеплаёмістасць серабра пры тэмпературы 5К. Характарыстычная тэмпература Дэбая для серабра 210К.

14.18. Вызначыць масу крышталя CaCl2, якому перададзена 5мДж цеплыні. Пры гэтым яго температура павялічылася ад 3К да 6К. Характарыстычная тэмпература Дэбая для гэтага крышталя 310К.

14.19. Знайсці максімальнае значэнне пастаяннай квазіпругкай сілы для атамаў свінцу, характарыстычная тэмпература Дэбая якога роўная 76К.

14.20. Вызначыць малярную цеплаёмістасць крышталя NaCl пры тэмпературы 32К, калі яго характарыстычная тэмпература Эйнштэйна роўная 320К.


15. Электраправоднасць праваднікоў і паўправаднікоў

Рухомасць носьбітаў электрычнага зараду дзе д – дрэйфавая скорасць электронаў,  - час рэлаксацыі.

Удзельная электраправоднасць металу

Удзельная электраправоднасць уласных паўправаднікоў , дзе Е – шырыня забароненай зоны паўправадніка.

Памяньшэнне канцэнтрацыі нераўнаважных носьбітаў з часам адбываецца па экспаненцыяльнаму закону , дзе  - час жыцця нераўнаважных носьбітаў.
Прыклад 1. Канцэнтрацыя электронаў праводнасці серабра роўная 6.1028м-3. Знайсці дрэйфавую скорасць электронаў пры напружаннасці электрычнага поля 2В/см.

Дадзена: n = 6.1028м-3, E = 2В/см

д - ?



Рашэнне. Па закону Ома шчыльнасць току З другога боку . З гэтых роўнасцей атрымліваем, што дзе удзельная электраправоднасць. Такім чынам, дрэйфавая скорасць Для серабра удзельнае супраціўленне  = 1,58.10-8Ом.м.

Лікавае значэнне:



Прыклад 2. Знайсці даўжыню свабоднага прабегу электронаў у метале, удзельная электраправоднасць якога роўная 1,13.107Ом-1.м-1. Сярэдняя скорасць хаатычнага руху электронаў 1Мм/с, а іх канцэнтрацыя 1023см-3.

Дадзена: = 1,13.107Ом-1.м-1, = 1Мм/с, n = 1023см-3

 - ?


Рашэнне. Даўжыня свабоднага прабегу электронаў у метале , дзе  - час рэлаксацыі, які можна вызначыць з выразу для удзельнай электраправоднасці , адкуль Такім чынам, даўжыня свабоднага прабегу

Лікавае значэнне:



Прыклад 3. Чырвоная мяжа фотаправоднасці чыстага германію роўная 1,7мкм. Чаму роўны тэмпературны каэфіцыент супраціўлення германію пры пакаёвай тэмпературы?

Дадзена: 0 = 1,7мкм, Т = 273К

 - ?


Рашэнне. Залежнасць удзельнага супраціўлення паўправаднікоў ад тэмпературы вызначаецца роўнасцю , дзе Тэмпературны каэфіцыент супраціўлення Чырвоная мяжа фотаправоднасці паўправадніка вызначае шырыню забароненай зоны У выніку атрымліваем, што тэмпературны каэфіцыент супраціўлення

Лікавае значэнне:



Прыклад 4. З дапамогай графіка залежнасці (рыс.8.) знайсці шырыню забароненай зоны паўправадніка n-тыпа.

Дадзена:

Е - ?


Рашэнне. З формулы для ўдзельнай электраправоднасці паўправаднікоў выражаем Калі запісаць для дзьвух тэмператур, то атрымаем Адымем ад другой роўнасці першую адкуль Шырыня забароненай зоны Пры нізкіх тэмпературах электраправоднасць вызначаецца электронамі праводнасці з донарных узроўняў, пры высокіх – з валентнай зоны. Адпаведна вугал нахілу графіка (рыс.8) пры T < Ts вызначае энергію актывацыі донарных узроўняў Ед, а пры T > Ts – шырыню забароненай зоны Е. Ts – тэмпература спусташэння донарных узроўняў.

Па графіку знаходзім, што

Лікавае значэнне:
15.1. Вызначыць даўжыню свабоднага прабегу электрона ў медзі пры пакаёвай тэмпературы. Электронная канцэнтрацыя для медзі 8,5.1022см-3.

15.2. Алюмініявы праваднік знаходзіцца ў электрычным полі. Знайсці напружанасць гэтага поля, калі канцэнтрацыя электронаў праводнасці ў алюмінію 5.1028м-3, а іх дрэйфавая скорасць 0,95м/с.

15.3. У жалезным правадніку дыяметрам 1мм сіла току 2А. Вызначыць канцэнтрацыю электронаў праводнасці, калі іх дрэйфавая скорасць 1м/с.

15.4. Удзельнае супраціўленне вальфраму 5,3.10-8Ом.м, канцэнтрацыя свабодных электронаў 5,5.1028м-3. Вызначыць час рэлаксацыі для гэтых электронаў.

15.5. Вызначыць рухомасць свабодных электронаў у медзі, для якой іх канцэнтрацыя роўная 8,5.1022см-3.

15.6. Вызначыць аб’ёмную шчыльнасць цеплавой магутнасці току ў металічным правадніку, які змешчаны ў электрычнае поле напружанасцю 2мВ/м. Шчыльнасць току ў правадніку 15А/мм2.

15.7. У цвёрдым стане кожны атам серабра аддае ў зону праводнасці адзін валентны электрон. Час рэлаксацыі гэтага электрона роўны 3,85.10-14с. Вызначыць удзельнае супраціўленне серабра.

15.8. Вызначыць удзельную праводнасць медзі, калі вядома, што ў цвёрдым стане, кожны атам медзі аддае ў зону праводнасці адзін валентны электрон, рухомасць якога роўная 4,4.10-3м2/(В.с).

15.9. Вызначыць тэмпературу, пры якой стасунак каэфіцыента цеплаправоднасці да ўдзельнай элетраправоднасці алюмінію роўны 6,7мкВт.Ом/К.

15.10. Каэфіцыент цеплаправоднасці свінцу пры пакаёвай тэмпературы роўны 34,8Вт/(м.К). Вызначыць электронную канцэнтрацыю, калі рухомасць электрона ў свінцу 4,5.10-3 м2/(В.с).

15.11. Вызначыць электраправоднасць чыстага германію пры электроннай канцэнтрацыі 3,1.1021м-3. Рухомасць электронаў роўная 0,38 м2/(В.с), дзірак – 0,18 м2/(В.с).

15.12. Як зменіцца электраправоднасць уласнага паўправадніка, шырыня забароненай зоны якога 0,35эВ, пры змяненні тэмпературы ад 300К да 350К?

15.13. Уласны паўправаднік (германій) пры вызначанай тэмпературы мае ўдзельнае супраціўленне роўнае 0,48Ом.м. Вызначыць канцэнтрацыю носьбітаў зараду, калі рухомасць электронаў – 0,38 м2/(В.с), дзірак – 0,18 м2/(В.с).

15.14. Якой павінна быць шырыня забароненай зоны паўправадніка, з якога выраблены светадыёд, які свеціцца зялёным святлом з даўжынёй хвалі 550нм?

15.15. Электраправоднасць чыстага паўправадніка павялічваецца ў 5 разоў пры змяненні тэмпературы ад 300К да 400К. Чаму роўная мінімальная энергія ўтварэння пары электрон-дзірка ў такім паўправадніку?

15.16. Вызначыць прымесную электраправоднасць германію, які ўтрымлівае індый з канцэнтрацыяй 2.1022м-3 і сурму з канцэнтрацыяй 5.1021м-3. Рухомасць электронаў – 0,38 м2/(В.с), дзірак – 0,18 м2/(В.с).

15.17. Удзельная электраправоднасць паўправадніка р-тыпу 112Ом-1.м-1. Вызначыць рухомасць дзірак, калі пастаянная Хола для гэтага рэчыва 3,66.10-4м3/Кл.

15.18. Эфект Хола ( = 2,8В) назіраецца ў пласцінцы з чыстага крэмнію шырынёй 2см, змешчанай у аднароднае магнітнае поле, індукцыя якога роўная 0,5Тл. Чаму роўная канцэнтрацыя носьбітаў зарадаў, калі шчыльнасць току 2мкА/мм2?

15.19. З дапамогай графіка залежнасці ln = f(1/T) (гл. рыс.8.) вызначыць энергію актывацыі донарных узроўняў паўправадніка n-тыпу.

15.20. Удзельная праводнасць чыстага паўправадніка пры пакаёвай тэмпературы роўная 2Ом-1.м-1. Пры апраменьванні паўправадніка святлом удзельная электраправоднасць стала 2,5Ом-1.м-1. Калі крыніцу апраменьвання выключылі, то праз 8мс праводнасць аказалася роўнай 2,2Ом-1.м-1. Чаму роўны час жыцця носьбітаў зарадаў?


V. Фізіка атамнага ядра
1   2   3   4   5   6


База данных защищена авторским правом ©urok.shkola.of.by 2016
звярнуцца да адміністрацыі

    Галоўная старонка